Zariski Topology on $k^n$

$k^n$ 最常见的拓扑自然是欧式拓扑，但是下面介绍的 Zariski 拓扑也是十分重要和“常见”的拓扑，并且它也保持了很多自然的性质，又有其独特的地方，值得了解一番。

详见 Jacobson《Basic Algebra 2》

Zariski Topology

给定一个交换环 $A$ ,$Spec(A)$ 表示 $A$ 理想全体构成的集合，带上一个 Zariski topology，拓扑中闭集为所有形式 $$V(I)=\{P\in Spec(A)|I\subset P\},I\subset A$$ 的集合，那么它必然会满足拓扑关于闭集的公理。

$k^n$ 上的 Zariski 拓扑

由于 $k^n=\{(a_1,a_2,\cdots ,a_n)|a_i\in k\}$ 到 $k$ 的多项式函数与 $k[x_1,x_2,\cdots ,x_n]$ 同构。所有 $k^n$ 上的拓扑

本质上是由交换环 $k[x_1,x_2,\cdots ,x_n]$ 的 Zariski 拓扑所确定。 $$V(S)=\{(a_1,a_2,\cdots ,a_n)\in k^n|f(a_1,a_2,\cdots ,a_n)=0,\mathrm{\forall }f\in S\}$$

1. $V(k[x_1,x_2,\cdots ,x_n])=\mathrm{\varnothing }$

2. $V(\mathrm{\varnothing })=k[x_1,x_2,\cdots ,x_n]$

3. ${\cap }_{i\in I}V(S_i)=V({\cup }_{i\in I}{S}_i)$

4. $$$$

5. $$$$

所以，上述 $$$$ 全体作为闭集构成了 $$$$ 的一个拓扑，称为 $$$$ 上的 Zariski 拓扑。

性质（设 $$$$ 是代数闭域）

1. 拓扑基： $$$$ 中开集有形式 $$$$ 其中 $$$$ 为开集。 因此 $$$$ 构成了 $$$$ 上的拓扑集

2. $$$$ 是 $$$$空间。

3. $$$$ 是不可约空间，即有限个非空开集交集非空。

4. $$$$ 多项式映射在 Zariski 拓扑下连续。