Schur 定理

在研究一个数学对象时，我们经常会对它进行分类。比如我们通常把数分为：实数，虚数；实数又分成有理数，无理数；当然也有按照正负来分的。还有整数分成素数（也叫质数）和合数，等等。现在我们谈谈矩阵的分类，以下默认矩阵是方的。

数学中分类一般是按照等价关系划分等价类的

所谓等价关系其实就是满足反身性，对称性，传递性的二元关系（总结一下我们等于号的全部性质就知道了） 矩阵中最常见的三种等价关系分别是

1. 相抵等价---初等变换
2. 合同等价---合同变换
3. 相似等价---相似变换

相抵等价完全由秩确定，合同变换我们一般只针对实对称矩阵处理。相似变化是我们讨论最多的也是最复杂的，我们总想把复杂的东西变简单，对于一个矩阵我们总想做变换把它变成最简单形式（称为标准型），相抵等价的标准型和对称矩阵合同等价的标准型都十分简单，但是很不幸的也是最幸运的是，并非所有的矩阵都可以相似于对角阵，相似变换标准型称为若尔当标准型，以纪念若尔当对矩阵相似变换所做的贡献。

然而今天主题并不是上面的任何一种，而是由伟大的数学家 Issai Schur 提出的酉相似，酉变换的概念和相应定理。

任意复方阵酉相似于上三角矩阵

酉矩阵和酉相似

一个矩阵称为酉矩阵，如果它的共轭转置是它的逆。复矩阵 \(A\) 与 \(B\) 称为酉相似的，如果存在酉矩阵 \(U\) 使得 \(B=U^ \star AU\) ，这里\(U^ \star\) 表示 \(U\) 的共轭转置。

定理 1. 对任意复方阵 \(A\)，存在酉矩阵 \(U\) 使得

\[ A = U \left( \begin{matrix} \lambda_1 & \star & \star & \star \\ & \lambda_2 & \star & \star \\ & & \ddots & \star \\ & & & \lambda_n \end{matrix} \right)U^\star \]

其中\(\lambda_1,\lambda_2,\cdots,\lambda_n\) 为\(A\)的全部特征值。

Proof：设 \(\alpha_1\) 是\(A\)的特征值 \(\lambda_1\) 对应的特征向量，将 \(\alpha_1\) 扩充为\(\mathbf{C}^n\)的一组标准正交基 \(P=(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n)\) ，则 \(A = P \left( \begin{matrix} \lambda_1 & \star \\ \mathbf{0} & B \end{matrix} \right)P^\star\) 。对复矩阵的阶数应用数学归纳法，存在\(n-1\) 阶酉矩阵 \(Q\) 使得 \[ B = Q \left( \begin{matrix} \lambda_2 & \star & \star \\ & \ddots & \star \\ & & \lambda_n \end{matrix} \right) Q^ \star \] 因此 \[ A = U \left( \begin{matrix} \lambda_1 & \star & \star & \star \\ & \lambda_2 & \star & \star \\ & & \ddots & \star \\ & & & \lambda_n \end{matrix} \right)U^\star \] 其中 \(U = P \left( \begin{matrix} 1 & \\ & Q \end{matrix} \right)\) 是 \(n\) 阶酉矩阵，证毕。

矩阵酉相似于对角阵当且仅当它是正规矩阵

矩阵 \(A\) 称为正规矩阵(normal matrix)，如果$ A^ A=AA^ $。显然酉矩阵，Hermite 阵，反 Hermite 阵都是正规矩阵。

定理 2（Issai Schur）矩阵 \(A\) 酉相似于对角阵的充分必要条件是 \(A\) 是正规矩阵

Proof：必要性显然，下证明充分性：

由定理 1 知，存在酉矩阵 \(U\) 使得

\[ A = U \left( \begin{matrix} \lambda_1 & \star & \star & \star \\ & \lambda_2 & \star & \star \\ & & \ddots & \star \\ & & & \lambda_n \end{matrix} \right)U^\star \]

若 \(A\) 是正规矩阵，则有

$$ ( \[\begin{matrix} \overline{\lambda_1} & & & \\ \star & \overline{\lambda_2} & & \\ \star & \star & \ddots & \\ \star & \star & \star & \overline{\lambda_n} \end{matrix}\] ) ( \[\begin{matrix} \lambda_1 & \star & \star & \star \\ & \lambda_2 & \star & \star \\ & & \ddots & \star \\ & & & \lambda_n \end{matrix}\]

)

( \[\begin{matrix} \lambda_1 & \star & \star & \star \\ & \lambda_2 & \star & \star \\ & & \ddots & \star \\ & & & \lambda_n \end{matrix}\] ) ( \[\begin{matrix} \overline{\lambda_1} & & & \\ \star & \overline{\lambda_2} & & \\ \star & \star & \ddots & \\ \star & \star & \star & \overline{\lambda_n} \end{matrix}\] ) \[ 考虑矩阵两端$(1,1)$位置得到: \] _1 ＝ _1 +^2 \[ 其中$ \sigma^2 $是上三角矩阵 \] ( \[\begin{matrix} \lambda_1 & \star & \star & \star \\ & \lambda_2 & \star & \star \\ & & \ddots & \star \\ & & & \lambda_n \end{matrix}\]

) $$ 的第一行的非对角元绝对值之平方和，因此由 \(\sigma^2\) 可知上三角矩阵的第一行非对角元全为 0，类似的考察矩阵两端 \((2,2)\) 的位置，一直到 \((n,n)\) 的位置即可知道上面矩阵是对角阵，证毕。

上述定理给出了酉相似于对角型的充分必要条件，而且条件十分易于判断。整个过程简洁优美。另外由于酉矩阵条件数恒定为 1，有其数值稳定性，因此经常用于实际计算中，例如 QR 方法涉及的两个矩阵变换 Househoulder 变换和 Givens 变换都是酉变换。