初中就学过最简单的均值不等式 \(\frac{a+b}{2} \geq \sqrt{ab},a ,b \geq 0\)。它的证明只需配方就知道了，这里介绍一下一般的均值不等式: \[ \frac{ \sum_{i=1} ^n a_i}{n} \geq \sqrt[n]{\Pi_{i=1}^n a_i } \]

数学老师想好了两个自然数 \(m,n\) 满足 \(2 \leq m \leq n \leq 100\) ,他把 \(m,n\) 的和 \(s\) 告诉了 \(S\) 同学，把 \(m,n\) 的积 \(p\) 告诉了 \(P\) 同学，他们都是聪明诚实的学生。进行了下面对话 \(S\): 我不知道 \(m,n\) 的值，但我知道你也不知道。 \(P\): 现在我知道了。 \(S\): 现在我也

在《Proofs from THE BOOK》里素数无限的六种证明的第五种讲到了一种用点集拓扑学知识证明的方法，其中引入了整数集上的一种奇特拓扑。

“公平”的席位分配首先本来就是不可能的，公平一般是无法达到的，我们只是尽量降低不公平度，那么我们怎么衡量不公平度呢。就像评价一个人，有不同的指标，不公平度也是一样，这里介绍一种相对合理易于接受，且好判断的方法。

从二次剩余问题，引入 Legendre 符号，由此一步步导出 Gauss 互反律，最后延伸到 Jacobi 符号，整个步骤确实连贯优美，脍炙人口。

在 上一篇博文 中，介绍过数论中的 Möbius 反演公式，让我想起了另一个经典的反演公式：二项式反演公式。本质上反演公式就是矩阵求逆的过程。 只是它的逆有很简单的形式，因此才有了二项式反演公式，这个公式帮助我们队伍在 2014 年 ACM－ICPC 亚洲区域赛西安站拿银，当时 F 题答案直接算需要 \(O(n^3)\) 复杂度，而利用二项式反演公式后，可以在 \(O(n^2)\) 复杂度内完美解

潘承洞先生的《数论基础》(现代数学基础丛书 34) 以现代数学的眼光看数论函数，使得分析问题更加简洁本质，而这些都要归功于 Dirichlet 积的引入。

ACMer 考虑算法时总会优先考虑时间复杂度，这里介绍几个优美的根号复杂度的算法（原来这个叫整除分块）

1907 年 O.Perron 发现正矩阵的谱有特别有趣的性质。G.Frobenius 在 1908-1912 年间将 Perron 的工作推广到不可约非负矩阵的情形，并得到了新的进一步结果。Ferron-Frobenius 理论有很多证明方式，下面介绍 H.Wielandt 的优美证明。（一步步的读下去会发现很清晰明了简单） 非负矩阵的谱半径（下面有定义）是它的一个特征值，并且这个特征值对应着

在研究一个数学对象时，我们经常会对它进行分类。比如我们通常把数分为：实数，虚数；实数又分成有理数，无理数；当然也有按照正负来分的。还有整数分成素数（也叫质数）和合数，等等。现在我们谈谈矩阵的分类，以下默认矩阵是方的。