自然数方幂和公式及其快速算法
自然数方幂和公式 关于自然数方幂和公式，网上的求解版本有很多种。这里介绍一种不为人知，十分简洁明了的求解方法，该公式并非原创，但是整个证明过程和方法完全原创。它的思想来源于我高中时在一本数学竞赛书中的数列例题(书名忘了...)，正因为一本本这样的书，让我大学选择了数学系，现在依然在学习数学。
输出源代码本身的源代码
我们可以把计算机看成一个函数，将一份代码映成一段输出，那么输出为代码本事就是数学中不动点。 任意语言都有很多相应版本的这种程序，原理都是类似的，目前有 cpp 和 python 的版本
$\pi(x)$ 的计算
\(\pi(x)\) 表示不超过 \(x\) 的素数个数。容易看出可以在 \(O(N)\) 时间复杂度，\(O(N)\) 空间复杂度离线预处理求出小于 \(N\) 的素数全体。但是如果 \(N=10^{14}\) 或者更大，这种做法必然是不现实的。因此下面给出高效的求解方法... 理论基础: 参考潘承洞《数论基础》以及论文包.zip
环的 Zariski 拓扑(素谱)
设 \(A\) 是(交换)环。令 \(X\) 为 \(A\) 的素理想全体，定义 \(V(E)\) 为 \(A\) 中包含 \(E\) 的素理想全体，则将所有 \(V(E)\) 看做闭集，它满足拓扑空间三条公理，即构成了拓扑，该拓扑称作 Zariski 拓扑，这个拓扑空间叫做环 \(A\) 的素谱，记作 \(Spec(A)\)。 有了拓扑，我们自然要考虑： 集合的内部、闭包 拓扑的基，拓扑的分离
李代数
近期在整理 Lie Algebra 课的笔记，还是很喜欢这门课的，主要是本科时候矩阵玩的特别 6，然后 Lie Algebra 可以认为是矩阵的推广版本。里面的证明技巧性相当强。我之所以喜欢数学很大程度与数学技巧有关。但是我的导师说，这些虽然很有技巧，但是你花时间都是可以处理的，会技巧没什么了不起，脑袋稍微好一点就能做这种事，长期技巧的训练其实意义并不大，应该更关注数学内部的东西，具体说就是一个代
矩阵的 Jordan 分解
最近在整理李代数（Lie Algebra） 内容时，里面提到了 Jordan 分解，这里就详细介绍并证明几个相关结果。 若矩阵 \(A,B\) 可交换，则它们有公共特征向量。 若矩阵 \(A,B\) 可以对角化，则它们可以同时对角化，当且仅当 \(A,B\) 交换 每一个矩阵 \(A\) 都可以唯一分解成 \(A=B+C\), 其中 \(B\) 可对角化（半单部分），\(C\) 幂零。且 \(B
华罗庚恒等式
华罗庚恒等式有两个，都看似奇怪但都有其深刻的应用(数学内部的) 若在一个环中 \(a,b,1-ab\) 都可逆，则 \[ \left( (a-b^{-1})^{-1} - a^{-1} \right)^{-1} = aba - a \] 若在一个环中 \[ a = \left( b^{-1} - (a-1)^{-1}b^{-1}(a-1) \right) \left (a^{-1} b^{-1}