均值不等式的证明

初中就学过最简单的均值不等式 \(\frac{a+b}{2} \geq \sqrt{ab},a ,b \geq 0\)。它的证明只需配方就知道了，这里介绍一下一般的均值不等式: \[ \frac{ \sum_{i=1} ^n a_i}{n} \geq \sqrt[n]{\Pi_{i=1}^n a_i } \]

Proof：当 \(n=1\) 时结论是平凡的，\(n=2\) 时配方即知。\(n=2^k\)时不难用数学归纳法知，结论成立，下面主要看 \(2^{k-1} <n< 2^k\)的情况： 令 $A = $ 则，应用 \(2^k\) 时的结论 \[ \frac{ \sum_{i=1} ^n a_i + (2^k-n)A }{2^k} \geq\sqrt[2^k]{\Pi_{i=1}^n a_i A^{2^k -n}} \] 化简可得到结论。

上述证明简单优美，第一次在陈纪修《数学分析》上册看到这个优美的方法。