李代数

最后更新于:2022年6月25日 下午

近期在整理 Lie Algebra 课的笔记,还是很喜欢这门课的,主要是本科时候矩阵玩的特别 6,然后 Lie Algebra 可以认为是矩阵的推广版本。里面的证明技巧性相当强。我之所以喜欢数学很大程度与数学技巧有关。但是我的导师说,这些虽然很有技巧,但是你花时间都是可以处理的,会技巧没什么了不起,脑袋稍微好一点就能做这种事,长期技巧的训练其实意义并不大,应该更关注数学内部的东西,具体说就是一个代数对象的结构,分类,不变量,对象之间的同构。一个概念有哪些等价形式,与其它概念之间的关系,搞清楚这些更为重要,它们的证明只要大致知道怎么过来的就行。我们并不要把证明的细节放在心中,因为我们已经经过了多年的训练,相信我们通过大致步骤就能给出详细的证明,只是花的时间多少罢了。当然初学一个东西,去抠它的细节是无可厚非的。

以上纯属废话 0.0

定义

交换环 \(K\) 上的模 \(L\),以及一个运算 \(L \times L \to L,(x,y) \mapsto [x,y]\) 称为 \(x,y\) 的 Lie 括号,或交换子,并称 \(L\)\(K\) 上的 Lie Algebra,如果满足如下公理。 L1. \([\cdot,\cdot]\) 是双线性的; L2. \([x,x]=0\) 对任意 \(x \in L\) 成立; L3. \([x,[y,z]]+[y,[z,x]]+[z,[x,y]]=0\) (Jacobi 恒等式)

\([L,L]=0\) 则上面结论显然成立,此时称为 Abelian Lie Algebra。

我们通常并不考虑 Abelian Lie Algebra。并且要求交换环 \(K\) 是域 \(F\),很多时候还要求 \(F\) 是特征为 0 的代数闭域,另外我们大多考虑 \(L\)\(F\) 上的有限维线性空间。

子,理想,商,同态,表示等一系列的概念和其它代数结构几乎一致。可以划入范畴中。另外单,半单,Radical 等这些概念也于环里面的类似,就不赘述了。

样板 Lie Algebra

\(V\)\(F\) 上有限维线性空间,\(End V\) 表示 \(V\)\(V\) 的线性变换全体按照元素的复合构成了 \(F\) 上的线性空间且 \(\dim End V = (\dim V)^2\)。也构成了 \(End V\) 是一个结合 \(F\)-代数。而任何结合代数都可以诱导一个 Lie 代数: \([x,y]=xy - yx\) 。为了强调 Lie 结构,我们用 \(\mathbb{gl}(V)\) 代替 \(End V\),称为 general linear algebra。它在 Lie 代数中充当的角色很类似于置换群在群中的角色。我们知道半单 Lie 代数同构于 \(\mathbb{gl}(V)\) 的一个子 Lie 代数。

导子和伴随表示

我们称一个 \(F-\)代数 \(A\)(可以非结合)也可以借助导子(derivation)诱导一个 Lie 代数,称一个导子是指一个线性映射 \(\delta: A \to A\) 满足 \(\delta(ab)=\delta(a)b+a\delta(b)\)。易知导子 \(Der A\) 全体构成了 \(End A\) 的一个子空间,由于 \([\delta,\delta’] \in Der A\),因此 \(Der A\) 构成了 \(\mathbb{gl}(V)\)的一个子 Lie 代数。 由于 Lie 代数 \(L\) 也是 \(F\)-代数,因此我们也可以定义 \(Der L\)。这里的导子本质上就是 Jacobi 恒等式的变形。 定义 \(ad_x: L \to L,y \mapsto [x,y]\),实际上 \(ad_x \in Der L\)\(L \to Der L,x \mapsto ad_x\) 称为 \(L\) 的伴随表示(adiont representation)。

可解和幂零

对于给定 Lie 代数 \(L\),我们有理想降链 \(L^{(0)} = L,L^{(1)}=[L^{(0)},L^{(0)}],\cdots,L^{(i)}=[L^{(i-1)},L^{(i-1)}],\cdots\)。若存在 \(n\) 使得 \(L^{(n)} = 0\) 则称 \(L\) 可解(slovable)。

  1. \(L\) 可解,\(L\) 的子代数和同态像可解
  2. \(I\)\(L\) 的可解理想,若 \(L/I\) 可解,则 \(L\) 可解。
  3. \(I,J\)\(J\) 的可解理想,则 \(I+J\) 也是。

由上述性质可知,\(L\) 有唯一的极大可解理想。即为 \(Rad L\),若 \(Rad L =0\) 则称之为半单的,等价于 \(L\) 无非零 Abelian 理想(充分性显然,必要性是因为 \(Rad L\) 可解,考虑最后一个非 0 项必然是 Abelian 理想矛盾)。另外 我们称 \(x \in End V\) 半单,若 \(x\) 的极小多项式无重根。

对于给定 Lie 代数 \(L\),我们有理想降链 \(L^0 = L,L^1=[L, L^0],\cdots,L^i=[L, L^{i-1}],\cdots\)。若存在 \(n\) 使得 \(L^{n} = 0\) 则称 \(L\) 幂零(nilpotent)。

  1. \(L\) 幂零,\(L\) 的子代数和同态像幂零。
  2. \(L/Z(L)\) 幂零。则 \(L\) 幂零。
  3. \(L\) 幂零且非 0,则 \(Z(L) \neq 0\)

显然由于 \(L^{(i)} \subset L^i\) 因此幂零一定可解,但是反之则不尽然,例如 \(\mathbb{gl}(V)\) 中对应的上三角矩阵全体构成的 Lie 代数。由 Lie 定理的推论知:

\(L\) 可解的充要条件是 \([L,L]\) 幂零。

ad-nilpotent

\(L\) 是一个 Lie 代数,\(x \in L\), 称 \(x\) ad-nilpotent 是指 \(ad_x\) 幂零。 易知若 \(x\) 幂零,则 \(ad_x\) 幂零,但是反之不尽然。然而我们有 Engel 定理

\(L\) 幂零当且仅当 \(ad L\) 幂零

一些重要结果

这里罗列一些定理实际上就是搞清楚 Lie 代数中的一些问题和一些好的性质。

THM1. 设 \(L\)\(\mathbb{gl}(V)\) 的子代数(\(L\) 中的元素可理解为矩阵),\(V\) 是有限维的,若 \(L\) 中元素都幂零,则存在 \(v \in V\) 使得 \(L(v) = 0\). 上面结果是讲,\(L\) 中元素都幂零,则 \(L\) 有公共的 \(0\) 特征向量。证明是很有技巧性的。构造一个 codemension 为 1 的子代数,并证明它是 \(L\) 不变子空间。然后数学归纳法完成证明。上面定理还说明我们可以取定一组基使 \(L\) 同时严格上三角。

THM2. 若 \(L\) 幂零,\(K\)\(L\) 的非零理想,则 \(K \cap Z(L) \neq 0\)

THM3. 设 \(L\)\(\mathbb{gl}(V)\) 可解子代数,\(V\) 是有限维的,则存在 \(L\) 存在公共特征向量。

上面定理还说明我们可以取定一组基使得 \(L\) 同时上三角。

THM4. 若 \(x \in EndV\),则存在唯一的分解 \(x = x_s+x_n\),其中 \(x_s\) 是半单的, \(x_n\) 是幂零的,且 \(x_s,x_n\) 都能表示成 \(x\) 的无常数项的多项式。将其称之为 Jordan-Chevally 分解。

THM5. 若 \(x\) 半单,则 \(ad_x\) 半单。若 \(x=x_s+x_n\) 是 Jordan-Chevally 分解,则 \(ad_x = ad_{x_s} + ad_{x_n}\) 也是。\(Der A\) 包含其元素的 半单部分和幂零部分。

THM6. $A B End V $,令 \(M = \lbrace x \in \mathbb{gl}(V) \mid [x,B] \subset A\rbrace\)。若 \(x \in M\) 满足,\(Tr(xy)=0\) 对任意 \(y\in M\) 成立,则 \(x\) 幂零。

THM7 \(L \subset \mathbb{gl}(V)\)\(V\) 是有限维的, 则 对任意 \(x \in [L,L],\;y \in L\)\(Tr(xy)=0\) 当且仅当 \(L\) 可解。

THM8\(L\) 是 Lie 代数,对任意 \(x \in [L,L],\;y \in L\)\(Tr(ad_x ad_y)=0\)\(L\) 可解。

THM9\(L\) 是半单的,则 \(L\) 可唯一写成单子理想的直和且 \(L=[L,L],Z(L)=0\)\(L\) 的理想和同态像都是半单的。

THM10 \(ad L\)\(Der L\) 的理想,且若 \(L\) 是半单的,则 \(ad L = Der L\)

To be continue