Kaplansky 定理

(非交换)环中有一个有趣的（Kaplansky）定理说：

如果环 \(R\) 中元素 \(a\) 有不止一个右逆，那么 \(a\) 有无数多个右逆。

像极了出轨只有零次，或者无数次。

(Kaplansky) Suppose an element \(a\) in a ring \(R\) has more than one right inverse. Show that \(a\) has infinitely many right inverses.

(Kaplansky) 若环 \(R\) 中元素 \(a\) 有不止一个右逆，那么它有无数个右逆

证明：（反证法）设 \(a\) 的所有右逆构成的集合为 \(A = \lbrace x \in R \mid a x = 1 \rbrace\).

若 \(A\) 有限，不妨设 \(A = \lbrace x_1,x_2,\cdots,x_n \rbrace, (n>1)\) , 则 \[ a(1- x_i a + x_1) = a-(a x_i) a + a x_1 = 1 \] 并且, 若 \(1 - x_i a + x_1 = 1 - x_j a + x_1\), 即 \(x_i a = x_j a,\) 那么 \(x_i = x_i(a x_i)=(x_j a) x_j\), 也就是说 \[ A = \lbrace x_1,x_2,\cdots,x_n \rbrace = \lbrace 1- x_1 a + x_1,1- x_2 a + x_1,\cdots,1- x_n a + x_1 \rbrace \] 所以存在 \(k\) 使得 \(1 - x_k a + x_1 = x_1\)，即 \(x_k a = 1\) 所以对任意 \(1 \leq i \leq n\), \[ x_i = (x_k a) x_i = x_k (a x_i) = x_k \]

即所有 \(x_i\) 都相同，矛盾与 \(A\) 中元素个数大于 1，证毕。

等价叙述： 如果环 \(R\) 中元素 \(a\) 有右逆而没有左逆，那么 \(a\) 有无穷多个右逆

通俗的讲就是，如果你喜欢一个不喜欢你的人，那你不仅仅只喜欢这个人。