五引理

在同调代数中，Five lemma，Snake lemma，Nine lemma （五引理，蛇形引理，马蹄引理）都是重要的引理。这里介绍一下 五引理。其实它的一般形式是有两个四引理得出的

以下范畴为：Abel 范畴(这里仅在模范畴中考虑，此时 monic 即为单同态，epic 即为满同态)。

五引理

若下交换图中每一行都正合且 $f$ epic, $q$ monic, $g,p$ isomorphism, then $h$ is isomorphism.

五引理

五引理的特殊形式

若下交换图中每一行都正合且 $f,h$ isomorphism,then $g$ is isomorphism.

五引理特殊形式

两个四引理及其证明

1. 若下交换图中每一行都正合且 $f$ epic，$p$ monic, $g$ monic, then $h$ is monic. $\mathrm{\forall }c\in C$, 若 $h(c)=0$, 则 $pw(c)＝w^{\prime }h(c)=0$, 因为 $p$ monic, 因此 $w(c)=0$, 又由行正合知，$\mathrm{\exists }b\in B$ 使得 $v(b)=c$，因此 $v^{\prime }g(b)=hv(b)=h(c)=0$, 由行正合知, $a^{\prime }{A}^{\prime }$ 使得 $u^{\prime }(a^{\prime })=g(b)$，由 $f$ epic 知 $\mathrm{\exists }a\in A$ 使得 $f(a)=a^{\prime }$. 因此 $gu(a)=u^{\prime }f(a)=g(b)$. 又由 $g$ monic 知， $b=u(a)$. 因此 $c=vu(a)=0$. 证毕。

2. 若下交换图中每一行都正合且 $$$$ epic，$$$$ monic, $$$$ epic,then $$$$ is epic. $$$$, 因为 $$$$ epic, 知 $$$$ 使得 $$$$, 所以 $$$$, 又 $$$$ monic, 因此 $$$$, 由行正合知, $$$$，使得 $$$$.因此 $$$$. 由行正合知，$$$$ 使得 $$$$, 又由 $$$$ epic 知 $$$$ 使得 $$$$ 因此 $$$$. 即 $$$$. 证毕。

四引理记忆方法： 左满右单，两满夹一满，两单夹一单。

显然上述两个四引理显然可推出五引理。