五引理

最后更新于:2022年6月25日 下午

在同调代数中,Five lemma,Snake lemma,Nine lemma (五引理,蛇形引理,马蹄引理)都是重要的引理。这里介绍一下 五引理。其实它的一般形式是有两个四引理得出的

以下范畴为:Abel 范畴(这里仅在模范畴中考虑,此时 monic 即为单同态,epic 即为满同态)。

五引理

若下交换图中每一行都正合且 \(f\) epic, \(q\) monic, \(g,p\) isomorphism, then \(h\) is isomorphism. 五引理

五引理的特殊形式

若下交换图中每一行都正合且 \(f, h\) isomorphism,then \(g\) is isomorphism. 五引理特殊形式

两个四引理及其证明

  1. 若下交换图中每一行都正合且 \(f\) epic,\(p\) monic, \(g\) monic, then \(h\) is monic. 四引理1 \(\forall c \in C\), 若 \(h(c) = 0\), 则 \(pw(c)=w'h(c)=0\), 因为 \(p\) monic, 因此 \(w(c)=0\), 又由行正合知,\(\exists b \in B\) 使得 \(v(b)=c\),因此 \(v'g(b)=hv(b)=h(c)=0\), 由行正合知, $ a' A' $ 使得 \(u'(a')=g(b)\),由 \(f\) epic 知 \(\exists a \in A\) 使得 \(f(a) = a'\). 因此 \(gu(a) = u'f(a)=g(b)\). 又由 \(g\) monic 知, \(b = u(a)\). 因此 \(c = vu(a) = 0\). 证毕。

  2. 若下交换图中每一行都正合且 \(g\) epic,\(q\) monic, \(p\) epic,then \(h\) is epic. 四引理2 \(\forall c' \in C'\), 因为 \(p\) epic, 知 \(\exists d \in D\) 使得 \(p(d) = w'(c')\), 所以 \(qs(d) = s'p(d) = s'w'(c') = 0\), 又 \(q\) monic, 因此 \(s(d) = 0\), 由行正合知, \(\exists c \in C\),使得 \(w(c) = d\).因此 \(w'(c'-h(c))=w'(c')-w'h(c)=p(d)-pw(c)=0\). 由行正合知,\(\exists b' \in B'\) 使得 \(v'(b') = c' - h(c)\), 又由 \(g\) epic 知 \(\exists b \in B\) 使得 \(g(b) = b'\) 因此 \(hv(b)= v'g(b) - v'(b')=c'-h(c)\). 即 \(c'=h(v(b)+c)\). 证毕。

四引理记忆方法: 左满右单,两满夹一满,两单夹一单。

显然上述两个四引理显然可推出五引理。