有限整环是域

有限整环是域，这是一个相当深刻的定理，被称为 Wedderburn's little theorem，介绍如下

有限整环是体

设 \(D\) 是有限整环（不要求交换），下证 \(D\) 是体。 证明：对任意 \(0 \neq a \in D\)，考虑 \(a,a^2,a^3,..,a^n,...\) 由于 \(D\) 是有限环，因此存在 \(n,r > 0\) 使得 \(a^{n+r} = a^n\) 即 \(a^n(a^r-1)=0\) 由于 \(D\) 是整环，\(a \neq 0\)，因此 \(a^r =1\) ，所以 \(a\) 可逆，证毕。

有限体是域

设 \(K\) 是有限体。\(Z\) 是它的中心，即 \[ Z = \lbrace z \in K \mid \forall x \in K, xz = zx \rbrace \] 则，\(Z\) 是域。令 \(|Z|=q\)，则 \(K\) 是 \(q\) 元域上的有限维向量空间，设维数为 \(n\)，则 \(|K|=q^n\)。我们需要证明 \(K=Z\), 即证明 \(n=1\)。 对任意 \(a \in K\)，令 \(N(a) = \lbrace x \in K \mid ax = xa \rbrace\) ，这显然是 \(K\) 的一个子体。并且包含 \(Z\)。因此 \(N(a)\) 也是 \(Z\) 上的有限维向量空间。从而 \(N(a)=q^{n(a)},n(a) \geq 1\)。由于 \(K^{\star}\) 为 \(q^n-1\) 阶乘法群，\(N(a)^{\star}\) 为 \(K^{\star}\) 的 \(q^{n(a)}-1\) 阶子群，因此 \(q^{n(a)}-1 \mid q^n-1\)，因此 \(n(a) \mid n\)。 将乘法群 \(K^{\star}\) 中的元素分成共轭类，从群论的角度，与 \(a \in K^{\star}\) 共轭的元素有 \([K^{\star} :N(a)^{\star}] = \frac{q^n-1}{q^{n(a)}-1}\)，从而每个共轭类取一次，共轭类集合记作\(X\)，我们有 \[ q^n - 1 = q-1 + \sum_{\overline{a} \in X} \frac{q^n-1}{q^{n(a)}-1} \] 我们需要证明的是当 \(n>1\) 时上式不成立。为此我们先介绍分圆多项式的知识。 \[ P_n(x) = \prod_{1 \leq r \leq n,(r,n)=1} (x-e^{\frac{2 \pi i r}{n}}) \]

即 \(P_n(x)\) 是以全部 \(n\) 次本原单位复根（共 \(\phi(n)\) 个）为根的首一多项式。易知 \[ x^n -1 = \prod_{d \mid n} P_d(n) \] 由数论函数的 Möbius 变换，(取对数或指数来切换乘积和相加)可知 \[ P_n(x) = \prod_{d \mid n} (x^d-1)^{\mu(n/d)} \] 于是 \(P_n(x)=f(x)/g(x)\) 其中 \(f(x),g(x)\) 都为 \(\mathbb{Z}[x]\) 中的首一多项式。另一方面，按照定义，\(P_n(x) \in \mathbb{C}[x]\) ，从而在 \(\mathbb{C}[x]\) 中 \(g(x) \mid f(x)\)。比较系数易知，\(P_n(x)\) 为 \(\mathbb{Z}[x]\) 中首一多项式。

因为对任意 \(d \mid n,0<d<n,P_n(x)\) 的每个根都是 \(x^n-1\) 的根，但不是 \(x^d-1\) 的根，从而

\[ P_n(x) \mid \frac{x^n-1}{x^d-1} \] 因此 \(P_n(q) \mid q-1\), 但当 \(n>1\) 时， \[ |P_n(q))| > (q-1)^{\phi(n)} \geq q-1 \] 矛盾，证毕。

这个定理也可以表述为：一个有限环，如果它不是域，那么它必然存在零因子。