Fermat 平方和定理

Fermat 平方和定理的表述为：奇质数能表示为两个平方数之和的充分必要条件是该质数被 4 除余 1（必要性显然）。这个结论首次由 Euler 在 1747 年给出证明。详细叙述如下：

为方便起见,记 \[ A = \lbrace a^2 + b^2 \mid a,b \in \mathbb{Z} \rbrace \] 证明分五步完成

1. $(a^2+b2)(c^2+d2)=(ac bd)^2 +(ad bc)^2 $ proof: 计算即知。

2. 若 \(a^2+b^2 \mid c^2+d^2\), \(a^2+b^2\) 为素数，则 \[ \frac{c^2+d^2}{a^2+b^2} \in A \] proof: 由于 \((ac-bd)(ac+bd) = (a^2+b^2)c^2-(c^2+d^2)b^2\) 因此 \((a^2+b^2) \mid (ac-bd)(ac+bd)\) 而 \((a^2+b^2)\) 是素数，因此必然整除其中一个。假设 \((a^2+b^2)|(ac-bd)\)，则由 1 知 \((a^2+b^2)｜(ad+bc)\) 因此 \[ \frac{c^2+d^2}{a^2+b^2}=(\frac{ac - bd}{a^2+b^2})^2 +(\frac{ad + bc}{a^2+b^2})^2 \] ​类似的，假设 \((a^2+b^2) \mid (ac＋bd)\) 则有 \[ \frac{c^2+d^2}{a^2+b^2}=(\frac{ac + bd}{a^2+b^2})^2 +(\frac{ad - bc}{a^2+b^2})^2 \]

3. \(x \mid a^2+b^2,x \notin A\)，则 \(\exists y| \frac{a^2+b^2}{x}\) 使得 \(y \notin A\)

   反证：设 \(a^2+b^2 = x p_1 p_2 \cdots p_n\) 则 \(\forall y| \frac{a^2+b^2}{x},y \in A\) 则由 2，经过 \(n\) 次除法，最终 \(x \in A\) 矛盾。

4. 若 \((a,b)=1\) 则 \(\forall x | a^2+b^2 \Rightarrow x \in A\)

   假设 \(\exists x| a^2+b^2,x \notin A\) 则，我们设 \(a = mx + c,b = mx + d\),其中 \(|c|,|d| \leq \frac{x}{2}\)。则 \(a^2+b^2=(mx+c)^2+(mx+d)^2=tx+(c^2+d^2)\)，因此 \(x \mid c^2+d^2\)。又 \((a,b)=1\) ，因此 \(((c,d),x)=1\)。因此不妨设 \((c,d)=1\)（否则，两边同除它的平方）则 \(\exists z, zx = c^2+d^2 \leq \frac{x^2}{2}\)。即 \(z\leq \frac{x}{2}\)。由引理 3 知道 \(z\) 有一个因子 \(w \notin A\)。即我们由 \(x \mid a^2+b^2,x \notin A\) 得到了 \(w \mid c^2+d^2, w \notin A ,w \leq \frac{x}{2}\) 这样一直下去必然会在有限步结束，矛盾，即必然有 \(x \in A\) 。

5. 若素数 \(p=4n+1\)，则 \(p\in A\)。

   由 Fermat 小定理知 \(1,2^{4n},\cdots,(4n)^{4n}\) 除以 \(p\) 模 1.因此 \(2^{4n}－1,3^{4n}－2^{4n},\cdots,(4n)^{4n}-(4n-1)^{4n}\) 都是 \(p\) 的倍数。这些差都有分解 \[ a^{4n} - b^{4n} = (a^{2n}+b^{2n})(a^{2n}-b^{2n}) \] 由于上述 \(a,b\) 相差为 1，必然互素，因此若 \(p|a^{2n}+b^{2n}\) 则由 4 命题得证。否则 \(2^{2n}-1,3^{2n}-2^{2n},\cdots,(2n)^{2n}-(2n-1)^{2n}\) 都是 \(p\) 的倍数。 因此 1.对上面式子做 \(2n\) 阶差得到 \((2n)!\) 是 \(p\) 的倍数，显然是不可能的。 或者 2.由于上面序列的前 \(d\) 项和 \(d^{2n}-1\) 是 \(p\) 的倍数，因此素数 \(p\) 无原根，矛盾与原根存在定理。 > \(1^k,2^k, \cdots, k^k, (k+1)^k\) 的 \(k\) 阶差为 \(k!\)

用现代语言，Fermat 平方和定理也可以表达为

奇素数 \(p\) 在 \(\mathbb{Z}[i]\) 中不可约元当且仅当 \(p \equiv 3 \mod 4\)