仅在一点连续的函数例子

在一元微积分中，有一个广为人知的结论：一元函数在一点可导，必在该点连续，即可导必连续。那么自然会有这样一个问题：

一元函数在一点可导能否推出它在该点的一个小邻域连续呢？

这个想法是很自然的，不严格的思考可能会认为应该是对的,但是它并不成立。下面给出一个反例： $$f(x)=x^{2}D(x)=\{\begin{array}{ll}{x}^2& x\in \mathbb{Q}\\ 0& x\notin \mathbb{Q}\end{array}$$ 其中 $D(x)$ 为 Dirichlet 函数。

容易验证函数 $f(x)$ 在 $x=0$ 处可导，但在 $x\ne 0$ 处不连续，从而否定了上述问题。

最后，类似地，我们还可以通过 Dirichlet 函数构造 $\mathbb{R}$ 上一些仅在有限个点连续的函数。也可以通过周期函数构造仅在所有整数点连续的函数。但是由 Baire 纲定理可以证明，不存在在所有有理数点连续，无理点间断的函数。最后 Riemann 函数给出了一个在所有有理数点间断，无理点连续的函数。这些反例使得人们对函数连续的概念有了更感性的认识。