仅在一点连续的函数例子
最后更新于:2022年6月25日 下午
在一元微积分中,有一个广为人知的结论:一元函数在一点可导,必在该点连续,即可导必连续。那么自然会有这样一个问题:
一元函数在一点可导能否推出它在该点的一个小邻域连续呢?
这个想法是很自然的,不严格的思考可能会认为应该是对的,但是它并不成立。下面给出一个反例: \[ f(x) = x^2 D(x) = \left\{ \begin{array}{ll} x^2 & x \in \mathbb{Q} \\ 0 & x \notin \mathbb{Q} \end{array} \right. \] 其中 \(D(x)\) 为 Dirichlet 函数。
容易验证函数 \(f(x)\) 在 \(x=0\) 处可导,但在 \(x \neq 0\) 处不连续,从而否定了上述问题。
最后,类似地,我们还可以通过 Dirichlet 函数构造 \(\mathbb{R}\) 上一些仅在有限个点连续的函数。也可以通过周期函数构造仅在所有整数点连续的函数。但是由 Baire 纲定理可以证明,不存在在所有有理数点连续,无理点间断的函数。最后 Riemann 函数给出了一个在所有有理数点间断,无理点连续的函数。这些反例使得人们对函数连续的概念有了更感性的认识。